Boekbespreking van A.D. Fokkers Rekenkundige bespiegeling
der muziek
In de zesde eeuw voor Christus ontdekte Pythagoras de mogelijkheid,
het verschil in hoogte, waardoor twee tonen zich van elkaar onderscheiden,
door een verhouding van twee natuurlijke getallen uit te drukken en hij deed
daarme een vondst, die op ten minste vier gebieden van menschelijke
geestelijke werkzaamheid - muziek, wiskunde, philosphie en natuurwetenschap -
een sterke en blijvende uitwerking zou blijken te hebben. Van de drievoudige
relatie, waarin de kunst der muziek zich hierdoor tot verschillende
wetenschappen geplaatst zag, was die tot de mathesis van den beginne af de
innigste; ze zou ook de duurzaamste zijn. Ze werd onderhouden en uitgebreid
door Grieksche wiskundigen en muziektheoretici; het middeleeuwsche
onderwijsstelsel canoniseerde haar in het quadrivium; ze boeide tal van groote
wiskundigen in de zeventiende en achttiende eeuw; en hoewel het daarna niet
meer als vanzelfsprekend werd beschouwd, dat iemand die de wiskunde beoefent
eo ipso competent zou zijn in de theoretische aangelegenheden der muziek,
bleek de geheimzinnige samenhang tusschen tonen en getallen toch altijd weer
in staat, wiskundig aangelegde musici en muzikale wiskundigen tot onderzoek te
prikkelen.
Het hier boven aangekondigde werk van den conservator van het Natuurkundig
Laboratorium van de Teylerstichting te Haarlem levert een sprekend bewijs, hoe
onverzwakt een eeuwenoude band tusschen muziek en rekenkunde in onzen tijd nog
voortbestaat en hoeveel vroeger onvermoede mogelijkheden de geniale gedachte om
toonhoogten door getallen uit te drukken nog in zich bergt. Want het is waarlijk
met met uitsluitend historische bedoelingen dat de schrijver het reeds zoo vaak
behandelde onderwerp opnieuw ter sprake brengt. Het kan aanvankelijk zoo lijken,
wanneer in het eerste hoofdstuk (waarvan pas later blijkt dat het los staat van
den systematischen samenhang van het geheel) het werk van een viertal figuren,
die voor de geschiedenis der doctrine van belang zijn -
Zarlino,
Rameau, Tartini en
Euler - in afzonderlijke schetsen wordt behandeld.
Maar wanneer met het begin van het tweede hoofdstuk het eigenlijke betoog wordt
ingezet blijken de bedoelingen van den schrijver heel wat verder te gaan dan
het geven van een samenvatting en afronding van wat zijn voorgangers op dit
gebied tot stand brachten.
Prof. Fokker bezit namelijk de vaste overtuiging, dat de door hem
aangeboden bespiegeling der muziek, wel verre van een bezigheid te zijn; die óf
nog slechts historische beteekenis zou hebben óf slechts die enkelingen zou
kunnen boeien, die zich spontaan tot haar aangetrokken gevoelen, integendeel een
zaak is, waarin iedere musicus, die zijn kunst niet alleen uitoefent maar haar
ook overpeinst, ten zeerste belang moet stellen, omdat zij in staat schijnt, de
tegenwoordig wel algemeen gevoelde behoefte aan een vernieuwden theoretischen
grondslag van het systeem der muzikale harmonieleer te bevredigen. Zij zal dat
niet in de laatste plaats daarom kunnen doen, omdat ze van den beginne af de zoo
vaak als dissonant versmade zevende harmonische op voet van gelijkheid met de
derde en de vijfde invoert en toepast.
Het vurig pleidooi, dat de schrijver op tal van plaatsen van zijn boek voor het goed recht van de zevende
harmonische voert, bepaalt zijn positie in de geschiedenis van de arithmetische
muziektheorie als die van een herleefden Zarlino. Deze toch beijverde zich om de
harmonische groote terts met frequentieverhouding 5:4 de plaats te doen
innemen van de vóór hem overheerschende Pythagoras-terts, die, verkregen door 4
quintsprongen omhoog door twee octaafsprongen omlaag te laten volgen, de
frequentieverhouding (3/2)4 : 22 = 81/64. had. De
harmonische groote terts is veel eenvoudiger en natuurlijker te definieeren;
5:4 is de relatieve frequentie van een toon die twee octaven beneden de vijfde
harmonische van den grondtoon ligt; zij vormt daardoor de natuurlijke
aanvulling van de quint, die immers kan worden voortgebracht door van de derde
harmonische uit een octaaf omlaag te gaan.
Prof. Fokker wil nu niets anders
doen dan op den door Zarlino gewezen weg een stap verder gaan: wanneer men de
zevende harmonische van een grondtoon (een toon dus met frequentie 7n,
als die van den grondtoon n is) door een verlaging met twee octaven
binnen het octaaf van den grondtoon brengt, krijgt men een toon met
frequentieverhouding 7:4 die bij gebrek aan een naam, die bij quint en terts
zou passen, de harmonische zevende genoemd kan worden (in dit systeem van
naamgeving zou de quint dus de harmonische derde en de groote terts de
harmonische vijfde heeten). Het is aan dezen toon dat hij, zooals verscheidene
musici, mathematici en physici reeds weten, zijn hart verpand heeft, zooals
Zarlino het aan de harmonische vijfde gedaan had. Men meene nu echter niet, dat
de schrijver, door het pleidooi voor de harmonische zevende te voeren, de
muziek een weg zou willen opdrijven, dien haar dienaren, de musici en speciaal
de componisten, tot dusver nog nooit
bewandeld hebben. Integendeel: zijn stelling is juist, dat de harmonische
zevende in talrijke gevallen (het boek bevat er sprekende voorbeelden van)
door de componisten reeds intuïtief gebruikt is; men merkt het alleen
bij het bekijken van de gedrukte of geschreven muziek niet op, omdat er voor
die harmonische zevende geen teeken en geen naam bestaat Het zal nu duidelijk
zijn, welke taak de schrijver te vervullen had: het notenstelsel zoo te
verfijnen, dat de harmonische zevende daarin een plaats kan vinden; het
apparaat van nomenclatuur en notatie te scheppen waardoor zij in dat
notenstelsel zal kunnen worden benoemd en in het notenschrift zal kunnen worden
vastgelegd; en tenslotte, steunend op deze uitdrukkingsmogelijkheden het bewijs te
leveren, dat zij in de moderne muziek een zelden tot bewustzijn gebracht, maar
daarom niet minder krachtig levend bestaan voert.
Bij de uitvoering van het eerste en omvangrijkste gedeelte van
deze taak is hem het geluk te beurt gevallen, dat het verlangde notenstelsel
kant en klaar te vinden was in het werk van een anderen Nederlandschen
mathematicus, die zich met voorliefde in de rekenkundige bespiegeling der
muziek verdiept heeft, namelijk Christiaan Huygens. Deze heeft immers ontdekt,
dat wanneer men het octaaf verdeelt in 31 gelijke intervallen, diëzen genaamd,
de eenvoudige harmonische intervallen zich met een groote nauwkeurigheid door
geheele aantallen van zulke diëzen laten benaderen (de quint door 18, de
groote terts door 10, de harmonische zevende door 25 diëzen). Een naamgeving
met achtervoegsels is, es, isis en eses is in dit
stelsel op grond van quint- en tertsrelaties gemakkelijk aan te geven en de
harmonische zevende bij c als grondtoon neemt als ais de haar
toekomende plaats tusschen de andere 31 tonen in; zij ligt 2 diëzen boven
a en 3 diëzen beneden b. (In de gebruikelijke indeeling van het
octaaf in 12 gelijke halftonen zou zij tusschen den 9en en 10en toon, dus
tusschen a en ais vallen). De afwijking van den zoo bepaalden
toon met de ware harmonische zevende bedraagt slechts 0,8 cents (ter
vergelijking diene, dat ze van de a van het halftoonstelsel 31 cents
afwijkt en van de ais dus 69 cents). Zij wordt in het stelsel van
Huygens dus zoo nauwkeuring getroffen, dat men practisch kan zeggen, dat zij
er in voortkomt.
Voor de aanduiding van de harmonische zevende en de andere in het systeem van
Huygens nieuw ingevoerde tonen in notenschrift ontleent de schrijver aan
Tartini (die de invoering van de harmonische zevende ook al bepleit heeft) een
teeken in den vorm van een angel met weerhaak, dat omhoog, resp. omlaag
gericht, een verhooging, resp. verlaging van een toon met een diëze aangeeft;
twee van zulke diëze-angels samen worden als kruis-, resp.
mol-teeken geschreven, terwijl nog een speciaal teeken wordt ingevoerd voor de
combinatie van een mol met een verlagingsangel.
Alvorens nu echter over te kunnen gaan tot de uiteenzetting van de ten deele
reeds verwezenlijkte mogelijkheden, die de invoering van de harmonische zevende
opent, moest de schrijver een leer van accoorden, melodieën en toongeslachten
ontwikkelen, waarin de grondgedachte van zijn systeem (de consequente
toepassing van harmonischen en benedenharmonischen en de door deze bepaalde
intervallen) ab ovo verwerkt is. Voor de accoordenleer kon hij daarbij
voortbouwen op de door Euler ontwikkelde theorie van het z.g. volledig accoord,
d.i. een verzameling van tonen, die alle harmonischen zijn van eenzelfden
lagen toon den grondtoon, en tevens benedenharmonischen van eenzelfden hoogen
toon, den gidstoon. Deze beide begrippen doen ook weer dienst in de
melodieleer: een melodie heeft (in het eenvoudigste geval althans) een centrum,
dat de door verschuiving over een aantal octaven verkregen vertegenwoordiger is
hetzij van den gemeenschappelijken grondtoon hetzij van den gemeenschappelijken
gidstoon der in die melodie voorkomende tonen. En de accoordenleer voert op
haar beurt tot een exacte en volledige theorie der toongeslachten.
Met dit apparaat gewapend slaagt de schrijver er nu in om tal van harmonische
en melodische eigenaardigheden in oude en nieuwe muziek in een onverwacht en
helder licht te plaatsen. Natuurlijk moet hij daarbij zekere correcties op het
geschreven notenbeeld toepassen; het traditioneele notenschrift, dat op een
verdeeling van het octaaf in twaalf halve tonen gebaseerd is heeft immers voor
verschillen van een diëze, zooals de invoering van de harmonische zevende ze
met zich meebrengt, geen uitdrukkingsmogelijkheid. Een bepaalde noot kan dus
altijd een diëze hooger of lager bedoeld zijn dan ze geschreven staat en eerst
het herstel van dit gemis aan scherpte in de notatie onthult vaak het ware
karakter van een accoord, melodie of toongeslacht.
Het boek staat vol met dergelijke proeven van muzikale herinterpretatie op
grond van diëzencorrecties; om een indruk te geven van wat daarmee bereikt kan
worden, willen we hier een enkel voorbeeld citeeren: in een verhandeling over
z.g. cadensgroepen in het Gregoriaansch is gewezen op de typeerende werking,
die in een slotgroep van vier tonen het voorkomen van een groote onderseconde
bij een groote terts zooals in fa-sol-la-si, kan hebben. De schrijver
waagt nu de onderstelling, dat die groote onderseconde (sol-fa met
relatieve frequentie 9:8) wel eens strikt genomen, een interval met
frequentieverhouding 8:7 zou kunnen zijn (wat een diëze grooter is dan het
vorige). In dit geval zouden zich namelijk de frequentieverhoudingen der vier
opvolgende tonen door het schema 7:8:9:10 laten weergeven (mits men de la niet
interpreteert als de beneden-kleine terts van de quart van sol, maar als
Pythagoras-seconde boven sol). De groep zou dan dus een fragment blijken
te zijn uit een diatonischen ladder van harmonischen om de achtste als
grondtooncentrum. Het is uiteraard niet mogelijk om in het korte bestek van een
bespreking een ook maar eenigszins voldoenden indruk te geven van de vele
arithmetisch-muzikale rijkdommen, die het werk van prof. Fokker bevat. We
volstaan dus met een korte verwijzing naar de hoofdstukken over Opvolging
van accoorden en Zuivere intonatie en met een iets langere naar de
behandeling van de evenredige stemmingen (een gelukkige term voor wat
men gewoonlijk gelijkzwevende temperatuur noemt, echter niet alleen toegepast
op de verdeeling van het octaaf in twaalf gelijke halftonen, maar op iedere
verdeeling in onderling gelijke intervallen, of dit nu 19 derdetonen, 31
diëzen, 41 zevendetonen of 53 komma's zijn) om nog even stil te staan bij het
slothoofdstuk, dat evenals het inleidende historische eerste hoofdstuk, buiten
het systematisch kader van het geheel valt.
De schrijver stelt hierin een
vraag aan de orde, die bij menigen meer muzikaal dan mathematisch
geïnteresseerden lezer van deze aankondiging wellicht zal zijn gerezen, de
vraag namelijk of de muziek als kunst behoefte heeft aan en gebaat is bij een
zoo ver gaande arithmetiseering van de wetten der harmonische en melodische
structuur als hier wordt geboden en of de al te ver gaande toepassing van zoo
sterk intellectualistisch getinte hulpmiddelen als het wiskundig denken ze
levert, op den duur niet een fatalen invloed moet uitoefenen op de muzikale
intuïtie. Hij reageert op de skepsis, die uit deze vragen spreekt, vooreerst
door te wijzen op uitlatingen van bekende musici, waaruit een verlangen naar
een verfijnd en vernieuwd arithmetisch systeem der muziek spreekt en vervolgens
door de ongegrondheid te betoogen van den angst, dat men door te rekenen zijn
intuïtie zou kunnen verliezen. Het eerste argument is sterk; het tweede nog
sterker. Inderdaad is het dwaas, een tegenstelling te willen construeeren
tusschen een intellectueele wiskunde en een intuïtieve muziek, waar toch de
musicus zoo vaak intellectualistisch te werk moet gaan en de mathematicus
voortdurend een beroep moet doen op zijn intuïtie. De allerkrachtigste
weerlegging echter van den geuiten twijfel zal men door de lectuur van het werk
zelf ondergaan; onder al de voor den oningewijde aanvankelijk wellicht wat
afschrikwekkend werkende mathematische uitdrukkingswijzen en methoden gloeit
immers voortdurend een warme liefde voor de kunst der muziek en de talrijke
analysen, die men aantreft, verraden in even hooge mate de fijne muzikaliteit
van den schrijver als zijn arithmetische bedrevenheid.
Laat dus niemand, die zich voor de theoretische fundeering der muziek
interesseert, zich door matheseophobie laten weerhouden, zich in het werk van
prof. Fokker te verdiepen. Eerst daardoor zal zijn doel ook bereikt kunnen
worden; wat hij doet is wegen wijzen, mogelijkheden toonen. Eerst de
belangstelling en de medewerking van de musici en speciaal van de componisten
onder hen zal aan de denkbeelden, die hij met zooveel vuur en talent
verdedigt, de muzikale verwerkelijking en daarmee de overwinning kunnen
bezorgen.
Dr E.J. Dijksterhuis, 1946
Verschenen in Mens en Melodie, jaargang 1, 1946, pp. 59-62.
|